Question

已知函数.

（1）求的极值；

（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.

Answer

（1）极大值，无极小值；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求得导函数，令导函数为零，可求得可能的极值点，再判断导函数在区间上函数值的正负确定该极值点为极大值还是极小值；（2）由的单调区间对分别进行讨论，根据函数与有公共点，可列的最值的不等式，从而求得的取值范围.

试题解析：（1）的定义域为,,令得，

当时，，是增函数；

当时，，是减函数，

所以在处取得极大值,

，无极小值.

（2）①当时，即时，

由（1）知在上是增函数，在上是减函数，

所以，

因为的图象与的图象在上有公共点,

所以，解得，又，所以.

②当时，即时，在上是增函数，

所以在上最大值为，

所以原问题等价于 ,解得.

又，所以此时无解.

综上,实数 的取值范围是.

考点：函数的极值，函数的零点.

【方法点睛】在求函数的极值时，充分利用导函数的性质，即导函数值为零的点为可能极值点，其次由极值点两侧函数的单调性判断该极值是极大值或者极小值，对于两个函数图象存在公共点，可以转化为函数的最值的不等式，也可以转化为由两函数所确定的方程有实数解，再由函数的单调性进行求解.