Question

如图，平面，矩形的边长，为的中点.

（1）证明：；

（2）如果异面直线与所成的角的大小为，求的长及点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2），.

【解析】

试题分析：（1）由平面，可知,只要证得,便可证得,从而证得成立；（2）利用中位线定理，可作中点，从而将与平移至同一个平面内，根据与的夹角集合勾股定理便可求得，利用体积法可由求得点到平面的距离.

试题解析：（1）证 明 ： 连 接，由，得，同 理 得 ，，

，由勾股定理得，

平面，.又平面.

（2）取的中点的中点，连,

的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小，

即或(或者由观察可知，，不需分类讨论)

设，则，

若，由，得.

.

在中，，

点到平面的距离为.

若，由，显然不适合题意．

综上所述，点到平面的距离为.

考点：线面垂直的性质与判定，三棱柱的体积.

【方法点睛】本题主要考查线面垂直，异面直线垂直的证明，当异面直线垂直无法直接证明时，可先证得线面垂直，再由其性质得到线线垂直，对于点到平面的距离，可用等体积法来求；此外，因为相互垂直，所以可以为原点，为坐标轴建立空间坐标系，利用向量法进行求解与证明.