Question

椭圆的左右焦点分别为离心率为，圆的切线与椭圆相交于两点，满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当弦长时，求切线的方程.

Answer

（1）；（2）,.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的定义可知，所以，由可求得从而求得，便可得到的标准方程；（2）当切线斜率不存在时，可直接求得坐标，从而求得,当斜率存在时，可假设直线为，根据切线的性质能够得到的关系，将切线与椭圆联立方程组，求得的横坐标之间的关系，再结合三角函数便能求得线段的长度，从而求得，得到切线方程.

试题解析：（1）由已知得：，则，即，

椭圆C 的标准方程为：.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，

把的方程代入得：满足条件

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.

直线与圆相切 ，，即.

把直线的方程代入椭圆的标准方程得：.

整理得：,

.

设.

，

，即.

综上所述，直线的方程为：,.

考点：椭圆的标准方程，切线的性质.