Question

设数列，，已知，，，（）．

（Ⅰ）设,求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：对任意，为定值；

（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据的定义，计算，观察一下看看与是什么关系，本题中恰好得出，计算得，因此是等比数列（也可计算，发现数列可能为系数，再证之），可得通项公式；（Ⅱ）仿（1）计算得，变形得，又，证明，即为常数；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可求得，分组求和可得，由即为，分离参数有，求出左边的最大值，右边的最小值即得，注意按的奇偶分类讨论．

试题解析：（Ⅰ）依题意,即，

又, 故数列是首项为，公比为的等比数列，

所以

（Ⅱ）【解析】
，所以，

而，由上述递推关系可得，当时，恒成立，即

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，所以，

所以，

所以，

由，得，因为，

所以，

当为奇数时，随的增大而增大，且，

当为偶数时，随的增大而减小，且，

所以的最大值为，的最小值为．

由，得，得．

实数的取值范围是

考点：等比数列的判断，等比数列的通项公式，递推公式，数列与不等式的综合．