Question

  如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

Answer

（1）；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）在中已知三边长，求一个角的余弦，用余弦定理求得；（2）在中，已知，边，要求的长，因此还要求得，这可由两角差的正弦公式求得，即由得到，再利用正弦定理可得．

试题解析：（1）在△ADC中，由余弦定理，得

cos∠CAD＝＝＝

（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.

因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，

所以sin∠CAD＝＝＝，

sin∠BAD＝＝＝.

于是sin＝sin (∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

＝×－×＝.

在△ABC中，由正弦定理，得＝.

故BC＝＝＝3.

考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式．

【名师点睛】1．正弦定理解决的问题：

①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边.

②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角．

2．余弦定理解决的问题：

①已知三边,求各角;

②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

3．①正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.

②运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.