Question

已知关于的不等式，其中．

（1）当变化时，试求不等式的解集A；

（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最小的的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

Answer

（1）当时，不等式的解集为： ，当时，不等式的解集为：，

当时，不等式的解集为：；（2），．

【解析】

试题分析：（1）解含参数的不等式，首先对最高次项系数进行分类讨论，分，和三类，当或时，这是一元二次不等式，接着要研究两根的大小（如有根），从而写出不等式的解集；（2）在（1）的基础上可知只有在时才可能存在符合题意的值，而当时，，因此要求的最大值，这由基本不等式可得．

试题解析：（1）当变化时，可对的取值分类讨论：

①当时，不等式为：，解得：，即

当时，不等式可化为：

②当时，不等式为：，且，

解得：，即

③当时，，不等式为：，

解得：，即

④当且时，，不等式为：，

解得：或，即

综上所述 当时，不等式的解集为：

当时，不等式的解集为：

当时，不等式的解集为：

（2）由（1）可知，当时，中的元素有无限个，而当时，

中的元素为有限个，要使得元素个数最小，则需要最大，由

当且仅当，即时， 取到最大值－4

此时

考点：解含参数的一元二次不等式，基本不等式．

【名师点睛】对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是:

（1）讨论二次项系数是否为0,这决定此不等式是否为二次不等式;

（2）当二次项系数不为0时,讨论判别式是否大于0;

（3）当判别式大于0时,讨论二次项系数是否大于0,这决定所求不等式的不等号的方向;

（4）判断二次不等式两根的大小.