Question

已知函数（ ）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）若方程有实数根，求b的取值范围；

​（3）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1） ； （2） ； （3） .

【解析】

试题分析：（1）根据函数的奇偶性得， 代入函数的解析式中，利用对数的运算法则得到 ；（2）将函数代入方程，将方程转化为两个函数交点的问题；通过判断函数 的单调性，得到其最小值，从而求得b的取值范围为 ；（3）由题意，两个函数图像有且只有一个公共点即方程有且只有一个实数根；通过讨论方程根的情况来求得参数的取值范围.

试题解析：

【解析】
（1）因为为偶函数，

所以，

即对于恒成立.

于是恒成立,而x不恒为零，所以.

（2）由题意知方程即方程有解.

令，则函数的图像与直线有交点.

因为

任取、R，且，则，从而.

于是，即，

所以在上是单调减函数；

因为，

所以.所以b的取值范围是

（3）由题意知方程有且只有一个实数根．

令，则关于t的方程（记为（*））有且只有一个正根.

若a=1，则，不合, 舍去； 若，则方程（*）的两根异号或有两相等正根.

由或－3；但，不合，舍去；而；

方程（*）的两根异号

综上所述，实数的取值范围是．

考点：函数的奇偶性；对数运算法则；函数和方程之间的关系；由方程的根求参数的范围.