Question

已知函数，且.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）增区间和，递减区间；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）先求出的值，再代入函数表达式，求出导函数，因式分解后得到使导数大于或小于的区间，即得原函数的单调区间；（2）根据题意可知的导数或对于恒成立，可得关于的不等式，解得即可，并求其并集．

试题解析： (1)由，得.

当时，得.

因为，从而，则，的变化情况如下表.

所以的单调递增区间是和，的单调递减区间是

(2)函数，

有.

令，则函数的图象的对称轴方程是

若在区间上单调递增，则在上恒成立，

因此只要，解得，

若在区间上单调递减，则在上恒成立，

因此只需，解得

综上所述的取值范围是或

考点：1、利用导数求函数单调区间；2、恒成立问题；3、函数的基本性质．