Question

设函数.已知曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）求函数的极值点；

（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，函数有一个极小值点和一个极大值点，当时，函数在上有无极值点，当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用两直线垂直时斜率间的关系即可求得的值；（2）因为，其极值点就是在上的变号零点的个数，通过讨论对称轴的位置和判别式的符合得其单调性，找到函数的极值点情况；（3）要使总存在，使得成立，即总存在，使得成立，构造函数，，则总存在，使得成立，所以即，利用导数研究含的单调性，求出最大值和最小值即得的范围.

试题解析：（1），

所以，所以，

（2），其定义域为，

，

令，

①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点；

②当时，，令，有，

当时，，即，得在上递减；

当时，，即，得在上递增；

当时，，即，得在上递减；

此时有一个极小值点和一个极大值点.

③当时，，

令，有，

当时，，即，得在上递增；

当时，，即，得在上递减.

此时唯一的极大值点，无极小值点，

综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点.

当时，函数在上有无极值点；

当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点

（3）令，，

则，

若总存在，使得成立，

即总存在，使得成立，

即总存在，使得成立，

即，

，因为，所以，即在上单调递增，

所以，

即对任意成立，

即对任意成立，

构造函数：，，

，当时，，∴在上单调递增，∴.

∴对于任意，∴ .

所以

考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等.

【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于难题.求曲线上某点的切线关键是根据导数的几何意义求得切线斜率，研究函数的极值就是研究导数的变号零点，本题中由于定义域为，所以转化为讨论二次函数在给定区间上的零点问题；本题的难点是第三问，通过构造函数，把问题转化为求新函数在给定区间上的最大值和最小值，充分体现了导数在研究函数中的工具作用.