Question

如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）方法一可考虑线面平行的判定定理，证明与平面内的一条直线平行，取中点，连接，可证得四边形是平行四边形；方法二用面面平行的性质，过作平面的平行平面，取中点，连接，可证得平面平行于平面平面；（2）证明平面平面，只能用面面垂直的判定定理，即证直线与平面垂直，根据已知条件可证得，，所以有平面，从而证得平面平面.

试题解析：（1）方法一：

取中点，连接.∵在中，为中点，∴且，

∵正方形中，且，∴且，

则四边形为平行四边形，∴，

∵ 平面平面，∴平面，

方法二：

取中点，连接.∵在中，为中点，∴，

∵正方形中，为中点，∴

∵平面平面，

平面，平面，，∴平面平面，

∵平面，∴平面，

（2）∵侧面底面，侧面底面，∴底面，

∵底面，∴，

∵分别为正方形边中点，∴，

则，∴，则，

∵平面平面∴平面，

∵平面∴平面平面，

考点：空间中直线与平面的平行、垂直关系.