Question

设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；

（2）过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点. 为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

Answer

（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形可得，从而得到椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）联立方程组得，利用判别式、韦达定理及点到直线的距离公式，结合已知条件即可证明原点到直线的距离是定值，并求得的取值范围.

试题解析：（1）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以，又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，

故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为

（2）设，

联立方程组得，

，即

，，

由条件得,

所以原点到直线的距离是，

由得为定值

此时要满足，即，又，

即，所以，即或

考点：椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值为题，属于中档题.求椭圆和圆的方程，只要根据条件建立基本量之间的关系，问题即可得解；定值问题也是直线与圆锥曲线位置关系的综合应用中的常见题型，解答的基本策略是把要证为定值量用参数表示，根据韦达定理、判别式及其它一些已知条件建立交点坐标与参数间的关系进行消元、运算，即可证得结论.