Question

设函数，其中为实数.

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

Answer

（1）；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点.

【解析】

试题分析：（1） 由在上是单调减函数可得，讨论，时在上是否有最小值即可；（2）由在上是单调增函数得，讨论，，，分别利用导数研究其单调性及最值，从而得到不同范围内的零点个数.

试题解析：（1）在上恒成立，则，.

故：，

若，则在上恒成立，

此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；

若，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，满足，故的取值范围为：.

（2）在上恒成立，则，

故：..

①若，令得增区间为；

令得减区间为.

当时，；当时，；

当时，，当且仅当时取等号，

故：当时，有1个零点；当时，有2个零点.

② 若，则，易得有1个零点.

③若，则在上恒成立，

即：在上是单调增函数，

当时，；当时，，此时，有1个零点.

综上所述：当或时，有1个零点；当时，有2个零点.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值、最值及零点.

【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及零点 ，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值；⑤已知单调性求参数范围时，可转化为不等式恒成立问题求解.本题（1）、（2）解题过程都是利用了⑤.