Question

如图，在四棱锥中，平面，且，点在上.

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为45°，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由平面得，再由得，进而得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，再利用空间两向量所成角的余弦公式求得与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）取中点，连结，则，所以四边形为平行四边形，故，又，所以，

故，又，所以平面，

故有 .

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，

设，

易得

设平面的一个法向量为，

则，

令，得，

即 .

又平面的一个法向量为，

，解得，即，

而是平面的一个法向量，

设直线平面所成的角为，则.

故直线与平面所成的角的正弦值为 .

考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间两向量所成角的余弦公式.