Question

如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将点代入椭圆方程，结合离心率解方程组即可确定椭圆的方程；（2）可设的斜率为，则直线的方程为，直线方程和椭圆方程联立，利用两点求斜率公式，结合韦达定理，分别把用表示，观察与的关系即可.

试题解析：（1）由在椭圆上得，，①

依题设知，则②

②代入①解得.

故椭圆的方程为.

（2）由题意得可设的斜率为，

则直线的方程为，③

代入椭圆 方程并整理，得.

设，则有

， ④

在方程③中令得，的坐标为.

从而.

注意到共线，则有，即有.

所以

， ⑤

④代入⑤得，

又，所以，故存在常数符合题意.

考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及存在性问题.

【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.