Question

已知函数，，，.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值集合.

Answer

（1）上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，可证，进而知在上单调递增；（2）恒成立得，由恒成立得，所以可得.

试题解析：（1）当时，设

故在上单调递增 .

（2）设

，因为，

所以递增.所以有：

当时，，所以单调递增，所以，成立；

当时，，所以单调递减，欲证不等式不成立；

当时，设零点为，则当时递减

递增，从而当，，与前提矛盾 ,

综上，此时.

再设

,

设，易求，

再令，易知

且，从而由零点存在定理知。必存在唯一零点，使

当，递减，递增，且

设,

当时，恒成立，递增，所以，原不等式成立；

当时，恒成立，递减，所以恒成立，矛盾；

当，设两根为，则递减，递增，递减，故此时仍不能恒成立.

综上所述， ,

所以恒成立的的取值集合为.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.