Question

已知椭圆：，斜率为的动直线与椭圆交于不同的两点、.

（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；

（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值.

Answer

（1）（）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，， ，两式相减结合，可求得；（2）由求出点坐标，设直线的方程为，面积用表示，最后用基本不等式求最值.

试题解析：（1）设， ① ②

①-②得：,，即 ,

又由中点在椭圆内部得，所以点的轨迹方程为,

（2）由，得点坐标为，

设直线的方程为，代入椭圆方程中整理得：

，由得 ,

则 ,

， ,

所以

，当时，.

考点：1、点差法求轨迹方程；2、利用基本不等式求解析几何中的最值.

【方法点睛】本题主要考查“点差法”求轨迹方程以及利用基本不等式求解析几何中的最值，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题（1）就是利用“点差法”求解的.