Question

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求实数的取值集合；

（3）当时，对任意的，求证：.

Answer

（1）当时减区间为，当时递增区间为，递减区间为；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）讨论、两种情况，先求出，令得减区间，令的增区间；（2）当时在上不可能恒成立，当时，利用单调性求出为，可证明；（3）转化，利用只需证明.

试题解析：（1），

当时，，减区间为；

当时，由得，由得，

∴递增区间为，递减区间为.

（2）由（1）知，当时，在上为递减，而，

∴在上不可能恒成立；

当时，在上递增，在上递减，

，令，

依题意有，而，且，

∴在上递减，在上递增，∴，故.

（3）由（2）知：时，恒成立，所以有.

则，

又由知在上恒成立，

∴.

综上所述：对任意的，有.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立及不等式的证明.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.