Question

如图，在平面直角坐标系中，已知曲线由圆弧和圆弧相接而成，两相接点均在直线上，圆弧的圆心是坐标原点，半径为，圆弧过点.

（1）求圆弧的方程；

（2）曲线上是否存在点，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）个.

【解析】

试题分析：（1）先由圆弧所在圆的方程令，解得的坐标，再结合点也在上可得圆弧的方程；（2）假设存在这样的点，则由，得，再结合两圆弧方程可解得符合条件的.

试题解析：（1）圆弧所在圆的方程为，令，解得，

则直线的中垂线方程为，令，得圆弧所在圆的圆心为，

又圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的方程为.

（2）假设存在这样的点，则由，得.

由，解得（舍去），

由，解得，

综上知的，这样的点存在个.

考点：1、圆的标准方程和性质；2、动点的轨迹方程及曲线交点坐标.

【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、动点的轨迹方程及曲线交点坐标，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.