Question

已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（III）求证：.

Answer

（I）证明见解析；（II） ；（III）证明见解析．

【解析】

试题分析：（I）先求函数定义域,对函数求导之后对进行分类讨论: 当时, 的单调增区间为，减区间为，当时, 的单调增区间为，减区间为，当时，不是单调函数；（II）由求得,从而,对求导后利用根与系数关系判断单调区间,画出函数图象,结合函数图象,得到不等式,求出；（III）根据（I）可得,在上式中分别令得，以上不等式相乘得，两边同除以得（），即可证明.

试题解析：

（I）由（），

①当时，显然时，；当时，，

所以此时的单调增区间为，减区间为；

②当时， 的单调增区间为，减区间为；

③当时，不是单调函数．

（II）由题知，得，

所以，

所以（），

．

∵，∴一定有两个不等的实根，

又∵．

不妨设，由已知时，时，

即在上递减，在上递增，依题意知，

于是只需，得．

（III）由（I）知当时，在上递增，

∴，

在上式中分别令

得，

以上不等式相乘

得，

两边同除以

得（），即证

考点：1.函数导数与单调性；2.分类讨论的方法；3.构造法．

【方法点晴】分类讨论原则编辑:1、每级分类按同一标准进行；2、分类应逐级进行；3、同级互斥、不得越级；常见分类讨论对象:【数与代数】1、概念分段定义；2、公式、定理、法则分段表达；3、实施某些运算引起分类讨论；4、含参方程或不等式；【几何】5、图形位置不确定；6、图形形状不确定；【其他】题设本身有分类；分类讨论的步骤:1、明确分类对象；2、明确分类标准；3、逐类分类、分级得到阶段性结果；4、用该级标准进行检验筛选结果；5、归纳作出结论;是常用不等式,我们必须熟记,即使没有(1)的证明,我们也可以利用这个结论.