Question

动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

（I）求点的轨迹的方程；

（II）设点，过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.

Answer

（I） ；（II）．

【解析】

试题分析：（I）设点，，则由，得，因为点在抛物线上，∴；（II）联立,利用根与系数关系得到,下面分情况讨论. 当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则 ，，此时；同理，当点与点重合时，,直线不经过点即且时，，化简得故.

试题解析：

（I）设点，，则由，得，

因为点在抛物线上，∴.

（II）方法一：

由已知，直线的斜率一定存在，

设点，，则联立，

得，，

由韦达定理，得.

当直线经过点即或时，

当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，

则 ，，此时；

同理，当点与点重合时，

直线不经过点即且时，∵，

，

故，

所以的最小值为1．

方法二：同上

，

，

所以的最小值为1．

方法三：

设点，，由直线过交轨迹于两点得:

,化简整理得:

，

.

而

．

考点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.根与系数关系．

【方法点晴】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．跟与系数的关系是解这类题目的必备工具,另外题目运算量较大,需要一定的运算能力.