Question

在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.

（I）求直线与平面所成角的正弦值；

（II）若为的中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer

（I）；（II）存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：（I）依题意，以点为原点建立如图的空间直角坐标系,设,这样就可以得到每个点的坐标,, 求出直线的方向向量与平面的法向量,然后利用夹角公式就能求出第一问；（II）根据第一问建的坐标系,先假设点存在,且,求出点的坐标后,利用,求出,进而求得.

试题解析：

（I）依题意，以点为原点建立如图的空间直角坐标系 ，

不妨设，

则，

为棱的中点，得，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

不妨令，得，

所以

∴直线与平面所成角的正弦值为．

（II）向量，，

由点在棱上，设（），

∴，

∵，∴，

∴，解得，

∴ ．

考点：1.空间向量法求解立体几何问题；2.探究性问题．