Question

设是等差数列，是等比数列，且，，.

（1）求证：，；

（2）对于给定的正整数，试比较与的大小，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：首先由，建立起公差和公比的关系．（1）只要作差并变形：，，易知这两个差均为正数，结论得证；（2）同（1）作差变形：

，下面要确定这个数的正负，首先，实际上，是含共个数相加，中也是个数相加，当时，前面的每个数都比后面的每个数大，当时，前面的每个数都比后面的每个数小，由此可判断其正负，从而判断出．

试题解析：由知等差数列的公差，

设等比数列的公比为，由，得，所以，

因为，所以且.

（1）当时，，

因为且，.

同理，当时，，.

（2）记，

①

当时，由①式，得

（ⅰ）时，对任意，总有，，即.

（ⅱ）时，对任意，总有，，即，

综上，对于任意给定的正整数，都有.

考点：等差数列与等比数列的性质，比较大小．

【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查实数的大小比较．比较大小一般用作差法，对第（1）小题的两个比较大小，只要作差后因式分解变可判断其正负，对第（2）小题，对差分解后有，对差的正负判断是解决本题的关键，考虑指数函数的性质，发现减号前面的每个数都比减号后面的每个数大（时）或小（时），因此分类讨论后可得结论．