Question

如图，圆的半径为，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设（在左侧）为优弧上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为.

（1）求关于的函数关系；

（2）当为何值时，取得最大值？并求出的最大值.

Answer

（1），；（2）时，．

【解析】

试题分析：（1）要求四边形的面积，由圆的性质知四边形一般是梯形，底长度是固定的，易求得为2，因此还要求得底和高，设分别是的中点，则是高，且在直线上，为了求，要分类，按在圆心上方，过圆心，在圆心下方分三类研究，最后合并结果即可；（2）由（1）表示为的函数，，可用换元法，设，则，变为的二次函数，只要再求一下的取值范围，即能得到 最大值．

试题解析：（1）设过圆心作的垂线分别与交于点，

易得，

①当时，如图1，

易得，

所以

②当时，，

③当时，如图2，

易得，，

所以

综上得，，.

（2）令，

因为，所以，从而，故，

此时，，

所以当时，，此时.

考点：三角函数的应用，换元法，二次函数的性质．