Question

如图，已知平面平面，为矩形，，，是线段的中点，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，就是要证线线平行，关键是找到平行线，由于E、F是线段中点，因此我们再取一个中点，即PC的中点G，由中位线定理得，且，从而可得FGDE是平行四边形，从而的EF//DG，平行线找到了；（2）如果有线面垂直，则一定有线线垂直，反之就要证AC⊥BE，AC⊥PE（或PB），前者由于在矩形ABCD中，由相似三角形可得，后者可由已知平面平面得平面，从而有，结论可证．

试题解析：证明：（1）取线段的中点，连结，

∵分别为的中点，∴，且；

又∵是矩形，为中点，

∴，且，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，又平面，平面，∴平面.

（2）设，则，，

对于直角三角形与直角三角形，∵，∴∽，

∴，∵，∴，∴，

∵，为中点，∴，

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，平面，∴，

，∴平面.

考点：线面平行与线面垂直的判断．