Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，射线与椭圆的另一交点为，点在椭圆内部，射线与椭圆的另一交点分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线的斜率为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆方程，要得到两个等式，把点的坐标代入算一个，离心率是是另一个，两者结合可解得从而得方程；（2）本题中已经确定，因此想象与相关，故解决此题的关键是设点坐标，即设，，，，，首先有，，，然后设，，依此求得，代入椭圆方程并整理得，同理可得与有关的等式，这两式相减得，分析后得，从而，故.

试题解析：（1）易得，且，

解得，，所以椭圆的方程为：.

（2）设，，，，，

则，，，

又设，，其中，

则，代入椭圆并整理得：

，

从而有，①

同理可得，，②

①-②得：，

因为，所以，

从而，故.

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合性问题．

【名师点睛】求椭圆的标准方程一般都是寻找两个等式，两个关于的关系式，解得即可，而直线与椭圆相交问题，很少采取解方程组求交点的方法，一般设交点坐标为，代入椭圆方程进行变形．本题设点坐标为，，，，，同时设，，用表示，用表示，把，代入椭圆方程后相减化简从而得出结论，避免了求交点坐标．