Question

设函数.

（1）当时，对任意的，，求实数的取值范围；

（2）设在任何长为1的区间上总有两个数满足.证明：的最小值为1.

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）恒成立，即恒成立，一般可求得的最小值，由此最小值，可得的范围，由于函数式中含有绝对值符号，为此可分类讨论，由导数研究单调性、最值；（2）易知函数的图象关于直线对称，因此可先考虑区间，在区间上函数的最小值为，最大值为（＝），由，即可得，因此下面我们只要对任意区间上证明符合题意，时，，在和上总有一个区间的单调性理确定的，如时，在是最大值为，最小值为，那么

．类似中一种情形也可得证．

试题解析：（1）当时，，

当时，，即，

记，，则,

故为上的增函数，所以，得；

当时，，即，

记，，则，

故为上的减函数，所以，得，综上得，.

（2）在区间（）上，必有，即，又，

所以，下证：的最小值为1，

即证在任何长为1的区间上总存在两个数满足：

.

若，则为上增函数，取，

则，

若，则在上为减函数，取，

则，

综上得，，总存在两个数满足：.

即证的最小值为1.

考点：不等式恒成立，导数与极值，不等式能成立问题．

【名师点睛】本题涉及到不等式中的两类问题，恒成立和能成立问题，对这两类问题的等价转化是我们解决问题的关键．（1）恒成立，等价于，而存在使成立，等价于；（2）恒成立，等价于，而存在使成立，等价于．