Question

设函数是定义域为的奇函数．

（1）求值；

（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立时 的取值范围；

（3）若， 且在上的最小值为，求实数的值．

Answer

（1）2；（2）；（3）2

【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；（2）由（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为，即恒成立，由△＜0求得t的取值范围；（3）由求得a的值，可得 g（x）的解析式，令，可知为增函数，t≥f（1），令，分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值

试题解析：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴1－（k－1）＝0，∴k＝2，

（2）

单调递减，单调递增，故f（x）在R上单调递减。

不等式化为

，解得

（3）

，由（1）可知为增函数,

令h（t）＝t2－2mt＋2＝（t－m）2＋2－m2 （t≥）

若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2－m2＝－2，∴m＝2

若m<，当t＝时，h（t）min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去

综上可知m＝2．

考点：1．指数函数综合题；2．函数奇偶性的性质