Question

如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．

（1）若，求证：⊥；

（2）若二面角的大小为，求线段的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．

试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．

因为PA＝AB＝，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

由＝，得N，

由＝，得M，

所以，＝(－1，－1，0)．

因为＝0，所以MN⊥AD

(2) 【解析】
因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．

所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．

设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，

由，得

其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．

因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，

所以cos＝，即＝，解得λ＝，

从而M，N，

所以MN＝＝．

考点：用空间向量法证垂直、求二面角．