Question

已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是，O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段AB长度的最小值；

（3）试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer

（1）（2）（3）直线AB与圆相切

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出与的值，即可确定出椭圆C的方程；（2）设点A，B的坐标分别为（2，t），，由两向量垂直，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，表示出t，再将B坐标代入椭圆方程得到关系式，表示出，整理后利用基本不等式求出AB的最小值即可；（3）直线AB与圆相切，理由为：设点A，B的坐标分别为（2，t），，由两向量垂直，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，表示出t，进而表示出直线AB方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线AB的距离d，整理得到d=r，即可得证

试题解析：（1）由题意，解得.

故椭圆C的标准方程为.

（2）设点A，B的坐标分别为，其中，

因为，所以，即，

解得，又，

所以==

==，

因为，当且仅当时等号成立，所以，

故线段AB长度的最小值为.

（3）直线AB与圆相切.

证明如下：设点A,B的坐标分别为，，其中.

因为，所以，即，解得.

直线AB的方程为，

即，

圆心O到直线AB的距离,

由，，故

所以 直线AB与圆相切.

考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与圆的位置关系的判定