Question

已知圆的方程为．

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；

（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程．

Answer

（1）和；（2）或；（3）

【解析】

试题分析：（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，由点到直线的距离公式即可求出，从而求出所求的切线方程；（2）分两种情况考虑：当直线垂直于轴时，此时直线方程为，直线与圆的两个交点距离为，满足题意；当直线不垂直于x轴时，设其方程为，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线的方程；（3）设，表示出，代入已知等式中化简得到，代入圆方程变形即可得到轨迹方程．

试题解析：（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，

则由，得，

从而所求的切线方程为和

（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意：当直线不垂直于轴时，设其方程为，

即，设圆心到此直线的距离为，则，

得，从而，得，此时直线方程为，

综上所述，所求直线方程为或．

（3）设点的坐标为，点坐标是，

∴所以．

∵，∴

∴点的轨迹方程是

考点：1.直线与圆的位置关系；2.与直线有关的动点轨迹方程．