Question

已知函数在与处都取到极值．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若对不等式恒成立，求的取值范围．

Answer

(1) a＝－，b＝－2 (2) (－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】

试题分析：（1）求出，因为函数在与时都取得极值，所以得到且联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令列出不等式，求出c的范围即可

试题解析：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，

得a＝－，b＝－2，∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，

单调递减区间为.

(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1，2]，

当x＝－时，f(x)＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，

所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)2，

∴c∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)

考点：1.利用导数研究函数的极值；2.函数恒成立问题；3.利用导数研究函数的单调性