Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且．

(Ⅰ)证明：无论取何值，总有；

(Ⅱ)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值．

Answer

(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 当时取得最大值,此时.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由勾股定理可证得.从而可建立如图所示空间直角坐标系.根据已知条件可得各点的坐标.从而可得各向量的坐标.根据,可得点的坐标.根据数量积公式证,即证得.(Ⅱ)根据线面垂直可得面的一个法向量. 直线与平面所成的角的正弦值等于与面的法向量所成角的余弦值的绝对值.根据配方法可求得其最值.

试题解析：证明：由，可得，

则 即 、、两两相互垂直

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则

，可得

( Ⅰ）∵，

∴

∴无论取何值，

（Ⅱ）∵（0，0，1）是平面的一个法向量

∴=

∴当时，取得最大值，

此时=,=,

考点：空间向量法解决立体几何问题.