Question

点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上， 满足．

(Ⅰ) 求点的轨迹方程；

(Ⅱ) 过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点为弦的中点，求直线的方程．

Answer

(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据可知是线段的中点.设,根据中点坐标公式可得点坐标,将其代入圆方程,整理即可求得点的轨迹方程. (Ⅱ) 设、,将其代入点的轨迹方程.两式相减,结合中点坐标公式可得直线的斜率.由点斜式可得直线的方程.

试题解析：【解析】
(Ⅰ) 点在线段上，满足

点是线段的中点

设，则

点在圆上运动

则 即

点的轨迹方程为．

(Ⅱ) 方法一：

当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是

点，这种情况不满足题意．

设直线的方程为，

由 可得

由韦达定理可得

由的中点为，可得

解得

即直线的方程为

直线的方程为

方法二：

当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是

点，这种情况不满足题意

设、

、两点在椭圆上，满足

由可得

则

由的中点为，可得，代入上式

即直线的方程为

直线的方程为

考点：1代入法求轨迹方程;2中点弦问题.