Question

如图所示，平面，且四边形为矩形， 四边形为直角梯形，，，，．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系.由题意可得各点的坐标,从而可得各向量的坐标.根据向量垂直数量积为0可得面的法向量.根据数量积为0可证得此法向量与垂直,因为平面,即可证得面.(Ⅱ)先求面与平面的法向量,根据数量积公式可求得两法向量夹角的余弦值.由图观察可知所求二面角为锐二面角,所以所求二面角的余弦值等于两法向量夹角余弦值的绝对值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意,可得以下点的坐标：，，，， ，

则，．

为平面的一个法向量．

又，,

平面

平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则

， 取，得．

又平面，平面一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为

考点：用空间向量法解决立体几何问题.