Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．

(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；

(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：

Answer

（1），（2）证明见解析

【解析】

试题分析：(1)由题意易得可得四边形OPRQ为正方形，求出， 又在椭圆C上，及在第一象限，可解得的值；

(2)由直线OP：y=k1­x，OQ：y=k2x均与圆R相切，圆心到直线的距离等于半径可得

k1、k2是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得， 又因为在椭圆C上， 可得，从而，即2k1k2+1=0，得证．

试题解析：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即①

又在椭圆C上，所以②

由①②及在第一象限，解得,

(2)证明：因为直线OP：y=k1­x，OQ：y=k2x均与圆R相切，

所以，化简得

同理有

所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，

所以，

又因为在椭圆C上，所以，

即，所以，即2k1k2+1=0．

考点：圆的切线的综合问题.