Question

已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若,

（Ⅰ）求角C； 

（Ⅱ）若，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Answer

（I），（II）

【解析】

试题分析：（I）由正弦定理将化为，两边同时除以，即可得，即可求出的大小；

（II）利用三角形的内角和为180°，两角和与差的正弦公式及正弦定理可得b=5a 由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得 从而解得a=1，b=5再利用三角形面积公式求得面积

试题解析：（I）∵，

由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，

sinA≠0，

∴， 得

，

∵C∈（0，π），所以 ．

（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，

由正弦定理可知b=5a （1）

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，所以 （2）

由（1）（2）解得a=1，b=5，所以

．

考点：正余弦定理及三角形面积公式.

【方法点睛】(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;

(2)在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.