Question

如图，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交AB于D点，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）连结，设与相交于点，连接，则为中点，由线面平行的性质定理，可知，又为的中点，根据正三角形的性质即可求证出结果；（2）由线面垂直的判定定理可证，然后再设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．

试题解析：（I)证：连结，设与相交于点，连接，

则为中点，

∵平面，

∴，

∴为的中点，

又∵，∴

(Ⅱ)

又∥ ，

又

设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，.

∴

平面的一个法向量

所以直线与平面所成角的正弦值为

考点：1.线面平行线的性质定理；2.线面垂直的判定定理；3.线面所成的角.