Question

已知正方形的边长为，、、、分别是边、、、的中点．

（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；

（2）从、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量的分布列与数学期望．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足的正方形内部的点的集合”的面积即可得出；（2）从这八个点中，随机选取两个点，共可得到线段．这些线段的长度的所有可能取值分别为，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．

试题解析：【解析】
（1）这是一个几何概型，点构成的区域是正方形的内部，．满足的点构成的平面区域是以为圆心，1为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，．所以的概率为．

（2）从、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段，其中长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条．

所以所有可能的取值为，，，，，

且，，

，，．

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望为

考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.几何概型；3.离散型随机变量的期望与方差．