Question

设数列的各项均为正数，的前项和，．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）等比数列的各项均为正数，，，且存在整数，使得．

（i）求数列公比的最小值（用表示）；

（ii）当时，，求数列的通项公式．

Answer

（1）详见解析（2）（i）（ii）

【解析】

试题分析：（1）证明数列为等差数列，一般方法为定义，因此先从条件求项之间关系式：因为，

所以，两式想减得，即（2）（i）先求出，化简条件得，再代入条件得，，即，然后取对数变量分离得，最后利用导数研究函数最值（ii）实质研究正整数解的问题：先确定公比范围：，从而，再依次讨论，确定正整数解.

试题解析：证明：（1）因为，①

所以，②

-②，得，，

因为数列的各项均为正数，所以．

从而，，

所以数列为等差数列．

（2）（1）①中，令，得，所以．

由得，，

所以． ③

由得，，即④

当时，④恒成立．

当时，④两边取自然对数，整理得，．⑤

记，则．

记，则，

故为上增函数，所以，从而，

故为上减函数，从而的最大值为．

⑤中，，解得

当时，同理有，

所以公比的最小值为（整数）．

（2）依题意，，

由（2）知，，（整数）．

所以．

从而 ，

当时，，只能，此时，不符；

当时，，只能，此时，不符；

当时，，只能，此时，符合；

综上，

考点：等差数列定义与通项，利用导数求最值，正整数解问题