Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方程，一般利用待定系数法，即列出两个对立条件即可：一个是离心率，另一个是点A在椭圆上（2）直线与椭圆位置关系，一般有两个思路，一是利用韦达定理，二是利用点坐标变换，本题选用后一种思路：设，则由的斜率之积得，由解出代入椭圆方程化简得，从而求出实数的值．

试题解析：【解析】
（1）因为，而，

所以．

代入椭圆方程，得，①

又椭圆的离心率为，所以，②

由①②，得，

故椭圆的方程为．

（2）设，

因为，所以．

因为，所以，

即

于是

代入椭圆方程，得，

即，③

因为在椭圆上，所以． ④

因为直线的斜率之积为，即，结合②知． ⑤

将④⑤代入③，得，

解得．

考点：直线与椭圆位置关系