Question

设函数，，其中是实数．

（1）若，解不等式；

（2）若，求关于的方程实根的个数．

Answer

（1）（2）当或时，原方程有唯一解；当且时，原方程有两解．

【解析】

试题分析：（1）根据条件化简不等式为，注意化简过程中隐含条件：，最后解出不等式解集（2）研究的方程为，需两边平方变形：（注意隐含条件），这样就变成含参数方程根的个数：先讨论一次型：当时，由②得，所以原方程有唯一解，再研究二次型：需按判别式讨论，时，，原方程有唯一的解．时，再讨论两根正负及大小

试题解析：【解析】
（1）时，，

由，得．

此时，原不等式为，即，

解得或．

所以原不等式的解集为

（2）由方程得，

． ①

由，得，所以，．

方程①两边平方，整理得．②

当时，由②得，所以原方程有唯一解，

当时，由②得判别式，

1）时，，方程②有两个相等的根，

所以原方程有唯一的解．

2）且时，方程②整理为，

解得．

由于，所以，其中，即．

故原方程有两解．

3）时，由2）知，即，故不是原方程的解．

而，故原方程有唯一解．

综上所述：当或时，原方程有唯一解；

当且时，原方程有两解．

注：2）中，法2：，故方程②两实根均大于，所以原方程有两解．

考点：解含参数方程