Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，利用面积求解a，b，即可得到椭圆的方程．

（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，l利用△＞0，推出m2＜3k2+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为P（x0，y0），通过韦达定理，求出kAP，通过AP⊥MN，推出﹣=﹣，然后求解m的取值范围．

【解析】
（1）抛物线的焦点为，

∴解得

故所求椭圆C的方程为

（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，

△=（6mk）2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）＞0，得m2＜3k2+1，①

设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为P（x0，y0），

则x1+x2=﹣，x1x2=，

则x0==﹣，y0=kx0+m=，

所以kAP==﹣

∵三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，∴AP⊥MN，

则﹣=﹣，

得2m=3k2+1，代入①得m2＜2m，求得0＜m＜2．

又k2=＞0，得m＞，从而＜m＜2，

故m的取值范围是

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．