Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线y²﹣x²=1的两个焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P（2，1），Q（2，﹣1）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，满足于∠APQ=∠BPQ，试求直线AB的斜率．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知得椭圆的两个顶点坐标为，由此得到b2=2，由离心率为，得a2=8．由此能求出椭圆的方程．

（2）直线AP与直线BP的倾斜角互补，设A（x1，y1），B（x2，y2），kAP=k，则有kBP=﹣k，直线AP的方程y=k（x﹣2）+1，直线BP的方程y=﹣k（x﹣2）﹣1，由此分别把直线方程与椭圆方程联立，分别求出A、B的坐标，从而能求出直线AB的斜率．

【解析】
（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线y2﹣x2=1的两个焦点．

双曲线y2﹣x2=1的焦点为，

∴椭圆的两个顶点坐标为，

由于椭圆的焦点在x轴上，∴b2=2，由于离心率为，得a2=8．

由此可得椭圆的方程为．

（2）∵∠APQ=∠BPQ，∴直线AP与直线BP的倾斜角互补，

设A（x1，y1），B（x2，y2），kAP=k，则有kBP=﹣k，

直线AP的方程y=k（x﹣2）+1，直线BP的方程y=﹣k（x﹣2）﹣1，

联立方程，化简得（1+4k2）x2+（8k﹣16k2）x+16k2﹣16k﹣4=0，

由于直线AP与椭圆的交点为A、P，∴，

即，代入直线方程AP得：，

A点的坐标为，

∴B点的坐标为，

∴．

考点：椭圆的简单性质