Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．

（1）求证：AC⊥平面BDEF；

（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）1

【解析】

试题分析：（1）设AB，CD交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，故而AC⊥平面BDEF；

（2）根据菱形的性质计算OA，BD，DE，∠BDE，得出S△BDE，则VE﹣ABD=VA﹣BDE=OA．

（1）证明：设AB∩CD=O，连接DF，OF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵AF=CF，O为AC的中点，

∴AC⊥OF，

又∵BD⊂平面BDEF，OF⊂平面BDEF，BD∩OF=O，

∴AC⊥平面BDEF．

（2）【解析】
四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，

∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=．

∴S△BDE==，

由（1）得AC⊥平面BDEF，

所以AO⊥平面BDEF，

∴VE﹣ABD=VA﹣BDE=OA==1．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．