Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m²﹣6m+21）+f（n²﹣8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是（  ）

A．（9，49）    B．（13，49）    C．（9，25）    D．（3，7）

Answer

A

【解析】

试题分析：根据对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+21）＜f（﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2 的取值范围．

【解析】
∵对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∵f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，

∴f（m2﹣6m+21）＜﹣f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），

∵f（x）是定义在R上的增函数，

∴m2﹣6m+21＜﹣n2+8n，

∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4

∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，

∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7），

∵m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，

∴m2+n2 的取值范围是（9，49）．

故选：A．

考点：函数单调性的性质．