Question

知函数f（x）的定义域是R，对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．

（1）证明：f（x）在R上是增函数；

（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；

（3）若f（﹣1）=﹣2．求不等式f（a²+a﹣4）＜4的解集．

Answer

（1）证明见解析（2）f（x）是奇函数，证明见解析（3）（﹣3，2）

【解析】

试题分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上是减函数；

（2）利用赋值法即可求f（0）的值，结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可解不等式．

【解析】
（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

由已知f（x2﹣x1）＞0，

则f（x2﹣x1）=f[x2﹣（﹣x1）]=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

则函数f（x）在R上是增函数；

（2）令x=0，y=0，则f（0）=f（0）+f（0），

即f（0）=0，

令y=﹣x，

则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；

（3）∵f（﹣1）=﹣2．

∴f（1）=2

f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=4．

即不等式f（a2+a﹣4）＜4的等价为f（a2+a﹣4）＜f（2）．

∵函数f（x）在R上是增函数；

∴a2+a﹣4＜2．

即a2+a﹣6＜0．

解得﹣3＜a＜2，

即不等式的解集为（﹣3，2）．

考点：抽象函数及其应用．