Question

设二次函数y=f（x）的最大值为9，且f（3）=f（﹣1）=5，

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在[0，4]上的最值．

Answer

（1）f（x）=﹣x2+2x+8；（2）f（x）max=f（1）=9，f（x）min=f（4）=0；

【解析】

试题分析：（1）设出函数的解析式，求出函数的对称轴，通过f（3）=f（﹣1）=5，以及最值求解函数的解析式即可．

（2）判断函数的单调性，然后求解区间上的最值．

【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

∴（1）

由函数y=f（x）的最大值为9可得：f（1）=a+b+c=9（2）

由（1）、（2）解得：a=﹣1，b=2，c=8

所以 f（x）=﹣x2+2x+8．

（2）因为f（x）对称轴为x=1

所以f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，4]上单调递减

则f（x）max=f（1）=9，f（x）min=f（4）=0，

考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．