Question

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，点P为DD₁的中点．

（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）设AC和BD交于点O，连PO，则PO∥BD1，由此能证明直线BD1∥平面PAC．

（2）推导出AC⊥BD，DD1⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面BDD1．

证明：（1）设AC和BD交于点O，连PO，

由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，

因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，

所以直线BD1∥平面PAC

（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，

底面ABCD是正方形，则AC⊥BD

又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，

所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1．

考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．