Question

已知函数（为常数）.

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，设的两个极值点，，（）恰为的零点，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出函数的定义域，然后求的导数，再对进行分类讨论，即可得出的单调区间；（Ⅱ）先对求导，得到其两个极值点的关系，进而得到的零点的关系，结合韦达定理就可以得到关于的式子，再通过构造函数并判断出其单调性，就可求出的最小值.

试题解析：（Ⅰ），，

当时，

由解得，即当时，，单调递增，

由解得，即当时，，单调递减.

当时，，即在上单调递增；

当时，，故，即在上单调递增.

所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为.

（Ⅱ），则，

所以的两根即为方程的两根.

因为，

所以，，.

又因为为的零点，

所以，，

两式相减得，得，

而，

所以

，

令，

由得，

因为，两边同时除以，得，

因为，故，解得或，所以.

设，

所以，则在上是减函数，所以即

的最小值为.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、零点，极值，最值，单调区间.

【思路点睛】本题是一个导数在函数研究中的应用以及函数的零点、极值、最值等方面的综合性问题，同时考查了构造函数以及换元的思想方法，属于难题.解决本题的基本思路是，对于（Ⅰ）首先求出函数的定义域，然后求的导数，再对进行分类讨论，即可得出的单调区间；对于（Ⅱ）先对求导，得到其两个极值点的关系，进而得到的零点的关系，结合韦达定理就可以得到关于的式子，再通过构造函数并判断出其单调性，就可求出的最小值，问题得到解决.