Question

已知等差数列的前项和满足：，，数列的前项和满足：，.

（Ⅰ）求与；

（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）当时，；当时，，理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据等差数列的前项和公式以及的值可求出，进而可求出.由数列的前项和满足的条件先得到数列的递推关系式，进而可求出其通项公式；（Ⅱ）利用差值比较法比较其大小，先作差，再对的取值进行讨论，即可比较出与的大小.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得：

解得，

所以，

对数列，由已知有，即，

所以，（*）

又由已知，可得，

两式相减得，即，

整理得

结合（*）得（常数），,

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

（Ⅱ），

所以

于是

显然当时，，即，

当时，，即，

所以当时，；当时，.

考点：1、等差数列及其前项的和；2、等比数列及其前项的和；3、差值比较法.